Wie lautet die Gleichung der Parabel mit einem Fokus bei (-15, -19) und einer Directrix von y = -8?

Antworten:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Erläuterung:

Da es sich bei der Directrix um eine horizontale Linie handelt, wissen wir, dass die Parabel vertikal ausgerichtet ist (entweder nach oben oder unten geöffnet). Da die y-Koordinate des Fokus (-19) unterhalb der Directrix (-8) liegt, wissen wir, dass sich die Parabel nach unten öffnet. Die Scheitelpunktform der Gleichung für diese Art von Parabel lautet:

#y = 1 / (4f) (x - h) ^ 2 + k "1" #

Wobei h die x-Koordinate des Scheitelpunkts ist, k it die y-Koordinate des Scheitelpunkts ist und die Brennweite f die Hälfte der vorzeichenbehafteten Entfernung von Directrix zum Fokus ist:

#f = (y _ ("focus") - y _ ("directrix")) / 2 #

#f = (-19 - -8) / 2 #

#f = -11 / 2 #

Die y-Koordinate des Scheitelpunkts k ist f plus die y-Koordinate der Directrix:

# k = f + y _ ("directrix") #

#k = -11 / 2 + -8 #

#k = (-27) / 2 #

Die x-Koordinate des Scheitelpunkts h entspricht der x-Koordinate des Fokus:

#h = -15 #

Ersetzen dieser Werte in Gleichung 1:

#y = 1 / (4 (-11/2)) (x - 15) ^ 2 + (-27) / 2 #

Ein bisschen vereinfachen:

#y = -1/22 (x +15) ^ 2- 27/2 #

Antworten:

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

Erläuterung:

Parabola ist der Ort eines Punktes, der sich so bewegt, dass seine Entfernung von einer Linie, genannt Directix, und einem Punkt, genannt Fokus, gleich ist.

Wir wissen, dass der Abstand zwischen zwei Punkten liegt # (x_1, y_1) # und # x_2, y_2) # ist gegeben durch #sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) # und

der Abstand zwischen den Punkten # (x_1, y_1) # und Linie # ax + by + c = 0 # ist # | ax_1 + by_1 + c | / (sqrt (a ^ 2 + b ^ 2) #.

Nun Entfernung eines Punktes # (x, y) # auf Parabel aus dem Fokus bei #(-15,-19)# ist #sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) #

und seine Entfernung von Directrix # y = -8 # oder # y + 8 = 0 # ist # | y + 8 | / sqrt (1 ^ 2 + 0 ^ 2) = | y + 8 | #

Die Parabelgleichung wäre also

#sqrt ((x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2) = | y + 8 | # oder

# (x + 15) ^ 2 + (y + 19) ^ 2 = (y + 8) ^ 2 # oder

# x ^ 2 + 30x + 225 + y ^ 2 + 38y + 361 = y ^ 2 + 16y + 64 # oder

# x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 #

Graph {x ^ 2 + 30x + 22y + 522 = 0 -56,5, 23,5, -35,28, 4,72}