Lim_ (x -> 0) (sqrt (1 + x ^ 2) - sqrt (1 + x)) / (sqrt (1 + x ^ 3) - sqrt (1 + x)) =?

Antworten:

#lim_ (x -> 0) (Quadrat (1 + x ^ 2) -sqrt (1 + x)) / (Quadrat (1 + x ^ 3) -sqrt (1 + x)) = 1 #

Erläuterung:

Mit der Regel von L'Hopital wissen wir das #lim_ (x -> a) (f (x)) / (g (x)) => (f '(a)) / (g' (a)) #

#f (x) = sqrt (1 + x ^ 2) -sqrt (1 + x) #

# = (1 + x ^ 2) ^ (1/2) - (1 + x) ^ (1/2) #

#f '(x) = x (1 + x ^ 2) ^ (- 1/2) - (1 + x) ^ (- 1/2) / 2 #

#g (x) = sqrt (1 + x ^ 3) -sqrt (1 + x) #

# = (1 + x ^ 3) ^ (1/2) - (1 + x) ^ (1/2) #

#g '(x) = (3x ^ 2 (1 + x ^ 3) ^ (- 1/2)) / 2- (1 + x) ^ (- 1/2) / 2 #

#lim_ (x -> 0) (sqrt (1 + x ^ 2) -sqrt (1 + x)) / (sqrt (1 + x ^ 3) -sqrt (1 + x)) => (0 (1+) 0 ^ 2) ^ (- 1/2) - (1 + 0) ^ (- 1/2) / 2) / ((3 (0) ^ 2 (1 + 0 ^ 3) ^ - 1/2)) / 2- (1 + 0) ^ (- 1/2) / 2) #

#=(-(1+0)^(-1/2)/2)/(-(1+0)^(-1/2)/2)#

# = Abbruch (- (1 + 0) ^ (- 1/2) / 2) / Abbruch (- (1 + 0) ^ (- 1/2) / 2) = 1 #

Ich wurde gebeten, den folgenden Grenzwertausdruck auszuwerten: lim_ (xtooo) (3x-2) / (8x + 7) Bitte zeigen Sie alle Schritte. ? Vielen Dank

Lim_ (xrarroo) [(3x-2) / (8x + 7)] = color (blau) (3/8 Hier sind zwei verschiedene Methoden, die Sie für dieses Problem verwenden können, die sich von der Methode von Douglas K. unterscheiden, die l'Hôpital verwendet Wir werden gebeten, den Grenzwert zu finden. lim_ (xrarroo) [(3x-2) / (8x + 7)] Der einfachste Weg, dies zu tun, ist das Einfügen einer sehr großen Zahl für x (z. B. 10 ^ 10). und sehen Sie das Ergebnis; der Wert, der herauskommt, ist im Allgemeinen der Grenzwert (Sie müssen dies möglicherweise nicht immer tun, daher ist diese Methode in der Regel schlecht empfohlen)

Was ist lim_ (x -> oo) (e ^ x-1) / x?

Lim_ (x -> oo) (e ^ x-1) / x = oo Die Maclaurin-Erweiterung von e ^ x = 1 + x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + .. ..... Somit ist e ^ x-1 = x + x ^ 2 / (2!) + X ^ 3 / (3!) + .......:. lim_ (x -> oo) (e ^ x - 1) / x = lim_ (x -> oo) ((x + x ^ 2 / (2!) + x ^ 3 / (3!) + .... ..) / x) = lim_ (x -> oo) (1 + x / (2!) + (x ^ 2) / (3!) + .......) = oo

Warum lim_ (x -> oo) (sqrt (4x ^ 2 + x-1) -sqrt (x ^ 2-7x + 3)) = lim_ (x-> oo) (3x ^ 2 + 8x-4) / ( 2x + ... + x + ...) = oo?

"Siehe Erklärung" "Multiplizieren mit" 1 = (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt (x ^ 2 - 7 x + 3)) "Dann erhalten Sie" lim_ {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (sqrt (4 x ^ 2 + x - 1) + sqrt ( x ^ 2 - 7 x + 3)) "(weil (ab) (a + b) = a ^ 2 - b ^ 2") "= lim_ {x -> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (Quadrat (4 x ^ 2 (1 + 1 / (4x) - 1 / (4x ^ 2))) + Quadrat (x ^ 2 (1 - 7 / x + 3 / x ^ 2)) = lim {x-> oo} (3 x ^ 2 + 8 x - 4) / (2x sqrt (1 + 0 - 0) + x sqrt (1 - 0 + 0)) "(weil" lim_ {x-> oo} 1 / x = 0 ")" = lim {x -&