Frage Nr. Ecc3a

Antworten:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) = 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Erläuterung:

#int (3dx) / (x ^ 2 + x + 1) #

=#int (12dx) / (4x ^ 2 + 4x + 4) #

=# 6int (2dx) / (2x + 1) ^ 2 + 3 #

=# 2sqrt3arctan ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Antworten:

#int 3 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #

Erläuterung:

Wann immer wir ein Quadrat im Nenner haben und nein # x #'s im Zähler, wir wollen das Integral in die folgende Form bringen:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

In unserem Fall können Sie dies tun, indem Sie das Quadrat ausfüllen und dann eine Ersetzung verwenden.

# x ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + x + 1 = x ^ 2 + x + 1/4 + k #

# k = 3/4 #

# x ^ 2 + x + 1 = (x + 1/2) ^ 2 + 3/4 #

# 3int 1 / (x ^ 2 + x + 1) dx = 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx #

Wir möchten eine U-Substitution einführen, mit der:

# (x + 1/2) ^ 2 = 3/4u ^ 2 #

Wir können lösen für # x # um herauszufinden, was diese Substitution sein muss:

# x + 1/2 = sqrt3 / 2u #

# x = sqrt3 / 2u-1/2 #

In Bezug auf integrieren # u #multiplizieren wir mit der Ableitung von # x # in Gedenken an # u #:

# dx / (du) = sqrt3 / 2 #

# 3int 1 / ((x + 1/2) ^ 2 + 3/4) dx = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4u ^ 2 + 3/4) du = #

# = 3 * sqrt3 / 2int 1 / (3/4 (u ^ 2 + 1)) du = 3 * sqrt3 / 2 * 4 / 3int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 2sqrt3tan ^ -1 (u) + C #

Wir können jetzt lösen für # u # bezüglich # x # wieder zu ersetzen:

# u = (2x + 1) / sqrt3 #

Dies bedeutet, dass unsere endgültige Antwort lautet:

# 2sqrt3tan ^ -1 ((2x + 1) / sqrt3) + C #