Wie löst man x + 2 = e ^ (x)?

Antworten:

Verwenden Sie die Newton-Methode

#x = 1.146193 # und #x = -1.84141 #

Erläuterung:

Sie können die Gleichung nicht mit algebraischen Methoden lösen. Für diese Art von Gleichung verwende ich eine numerische Analysetechnik namens Newton-Methode.

Hier ist ein Hinweis auf die Newton-Methode

Lassen #f (x) = e ^ x - x - 2 = 0 #

#f '(x) = e ^ x - 1 #

Sie beginnen mit einer Vermutung für # x_0 # Führen Sie dann die folgende Berechnung aus, um näher an die Lösung zu gelangen:

#x_ (n + 1) = x_n - f (x_n) / (f '(x_n)) #

Sie führen Berechnungen durch und füttern jeden Schritt zurück in die Gleichung, bis sich die Zahl, die Sie erhalten, nicht von der vorherigen Zahl ändert.

Da Newtons Methode rechenintensiv ist, verwende ich eine Excel-Tabelle.

Öffnen Sie eine Excel-Tabelle

In Zelle A1 geben Sie Ihre Vermutung ein # x_0 #. Ich habe 1 in Zelle A1 eingegeben.

Geben Sie in Zelle A2 den folgenden Ausdruck ein:

= A1 - (EXP (A1) - A1 - 2) / (EXP (A1) - 1)

Kopieren Sie den Inhalt der Zelle A2 in die Zwischenablage und fügen Sie ihn in die Zelle A3 bis A10 ein.

Sie werden sehen, dass die Nummer schnell konvergiert #x = 1.146193 #

Edit: Nachdem ich einen sehr schönen Kommentar von Shell gelesen habe. Ich entschied mich dafür, die zweite Wurzel zu finden, indem ich den Wert von Zelle A1 von 1 auf -1 änderte. Die Kalkulationstabelle konvergiert schnell mit dem Wert #x = -1.84141 #

Antworten:

Diese Frage kann nicht algebraisch gelöst werden. Grafik gibt # x = -1.841 # und # x = 1.146 #.

Erläuterung:

Die linke Seite der Gleichung # x + 2 # ist algebraisch.

Die rechte Seite der Gleichung # e ^ x # ist transzendental (es kann nicht als Polynom ausgedrückt werden, z. B. Exponentialfunktionen, Protokolle, Triggerfunktionen).

Diese Gleichung kann nicht algebraisch gelöst werden, sie kann jedoch grafisch gelöst werden.

Um zu lösen, plotten Sie beide #farbe (rot) (y = x + 2) # und #Farbe (blau) (y = e ^ x) # in einem grafischen Dienstprogramm oder einem grafischen Taschenrechner. Die Lösungen sind die # x # Koordinaten der Schnittpunkte.