Wenn 3x ^ 2-4x + 1 Nullen alpha und beta hat, was hat dann quadratisch Nullen alpha ^ 2 / beta und beta ^ 2 / alpha?

Antworten:

Finden #Alpha# und #Beta# zuerst.

Erläuterung:

# 3x ^ 2 - 4x + 1 = 0 #

Die linke Seite Faktoren, die wir haben

# (3x - 1) (x - 1) = 0 #.

Ohne Verlust der Allgemeinheit sind die Wurzeln #alpha = 1 # und #beta = 1/3 #.

# alpha ^ 2 / beta = 1 ^ 2 / (1/3) = 3 # und #(1/3)^2/1= 1/9#.

Ein Polynom mit rationalen Koeffizienten mit diesen Wurzeln ist

#f (x) = (x - 3) (x - 1/9) #

Wenn wir ganzzahlige Koeffizienten wünschen, multiplizieren Sie mit 9, um folgendes zu erhalten:

#g (x) = 9 (x - 3) (x - 1/9) = (x - 3) (9x - 1) #

Wir können dies multiplizieren, wenn wir wünschen:

#g (x) = 9x ^ 2 - 28x + 3 #

HINWEIS: Allgemeiner könnten wir schreiben

#f (x) = (x - alpha ^ 2 / beta) (x - beta ^ 2 / alpha) #

# = x ^ 2 - ((alpha ^ 3 + beta ^ 3) / (alphabet)) x + alphabet #

Antworten:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Erläuterung:

Beachten Sie, dass:

# (x-alpha) (x-beta) = x ^ 2- (alpha + beta) x + alpha beta #

und:

# (x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha) = x ^ 2- (alpha ^ 2 / beta + beta ^ 2 / alpha) x + (alpha ^ 2 / beta) (beta ^ 2 / Alpha)#

#Farbe (weiß) ((x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha)) = x ^ 2- (alpha ^ 3 + beta ^ 3) / (alpha beta) x + alpha beta #

#Farbe (weiß) ((x-alpha ^ 2 / beta) (x-beta ^ 2 / alpha)) = x ^ 2 - ((alpha + beta) ^ 3-3alpha beta (alpha + beta)) / (alpha beta) x + alpha beta #

In unserem Beispiel teilen # 3x ^ 2-4x + 1 # durch #3# wir haben:

# {(alpha + beta = 4/3), (alpha beta = 1/3):} #

So:

# ((alpha + beta) ^ 3-3 alpha beta (alpha + beta)) / (alpha beta) = ((4/3) ^ 3-3 (1/3) (4/3)) / (1/3)) = (64 / 27-4 / 3) / (1/3) = 28/9 #

So kann das gewünschte Polynom geschrieben werden:

# x ^ 2-28 / 9x + 1/3 #

Multipliziere durch mit #9# um ganzzahlige Koeffizienten zu erhalten:

# 9x ^ 2-28x + 3 #

Antworten:

Lösungsvorschlag unten;

Erläuterung:

# 3x²-4x + 1 #

Hinweis: #ein# ist alpha, # b # ist Beta

#a + b = 4/3 #

#ab = 1/3 #

Um eine Gleichung zu bilden, finden wir die Summe und die Produkte der Wurzeln.

Für Summe

# (a²) / b + (b²) / a = (a ^ 3 + b ^ 3) / (ab) #

Aber; # a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) ³-3ab (a + b) #

Deshalb;

# ((a + b) ³-3ab (a + b)) / (ab) #

Daher ersetzen wir die Werte.

#((4/3)³-3(1/3)(4/3))/(1/3)#

# ((64/27) -cancel3 (1 / cancel3) (4/3)) / (1/3) #

#(64/27 - 4/3)/(1/3)#

#((64 - 36)/27)/(1/3)#

#(28/27)/(1/3)#

# (28/27) div (1/3) #

# (28/27) xx (3/1) #

# (28 / cancel27_9) xx (cancel3 / 1) #

#28/9#

Daher ist die Summe #28/9#

Für Produkte

# ((a²) / b) ((b²) / a) #

# ((ab) ²) / (ab) #

# (1/3) ^ 2 div 1/3 #

# 1/9 div 1/3 #

# 1/9 xx 3/1 #

# 1 / cancel9_3 xx cancel3 / 1 #

# 1/3 xx 1/1 #

#1/3#

Daher ist das Produkt #1/3#

# x²- (a + b) x + ab #

# x²- (28/9) x + 1/3 #

# 9x²-28x + 3 #

Multiplikation durch mit #9#

Hoffe das hilft!