Antworten:
Es läuft absolut zusammen.
Erläuterung:
Verwenden Sie den Test für die absolute Konvergenz. Wenn wir den absoluten Wert der Ausdrücke nehmen, erhalten wir die Serie
#4 + 1 + 1/4 + 1/16 + …#
Dies ist eine geometrische Reihe von gemeinsamen Verhältnissen #1/4#. So konvergiert es. Da beide # | a_n | # konvergiert #ein# absolut konvergiert.
Hoffentlich hilft das!
Antworten:
# "Es handelt sich um eine einfache geometrische Serie, die absolut mit" # # "Summe" = 16/5 = 3.2. "#
Erläuterung:
# (1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + …) (1-a) = 1 ", vorausgesetzt, dass | a | <1" #
# => 1 + a + a ^ 2 + a ^ 3 + … = 1 / (1-a) #
# "Take" a = -1/4 ", dann haben wir" #
#=> 1-1/4+1/16-1/64+… = 1/(1+1/4) = 1/(5/4) = 4/5#
# "Jetzt ist unsere Serie viermal so groß wie der erste Begriff 4." #
# "So unsere Serie" #
#4-1+1/4-1/16+… = 4*4/5 = 16/5 = 3.2#
Antworten:
Die geometrische Serie läuft absolut zusammen, mit
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, Summe_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
Erläuterung:
Diese Serie ist definitiv eine alternierende Serie. es sieht aber auch geometrisch aus.
Wenn wir das gemeinsame Verhältnis aller Begriffe bestimmen können, wird die Serie in der Form sein
#sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n #
Woher #ein# ist der erste Begriff und # r # ist das übliche Verhältnis.
Wir müssen die Summe mit dem obigen Format finden.
Teilen Sie jeden Begriff durch den Begriff davor, um das gemeinsame Verhältnis zu bestimmen # r #:
#-1/4=-1/4#
#(1/4)/(-1)=-1/4#
#(-1/16)/(1/4)=-1/16*4=-1/4#
#(1/64)/(-1/16)=1/64*-16=-1/4#
Daher ist diese Serie geometrisch mit dem üblichen Verhältnis # r = -1 / 4 #und der erste Begriff # a = 4. #
Wir können die Serie als schreiben
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n #
Daran erinnern, dass eine geometrische Serie #sum_ (n = 0) ^ ooa (r) ^ n # konvergiert zu # a / (1-r) # ob # | r | <1 #. Wenn es also konvergiert, können wir auch den genauen Wert ermitteln.
Hier, # | r | = | -1/4 | = 1/4 <1 #, so konvergiert die Serie:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (-1/4) ^ n = 4 / (1 - (- 1/4)) = 4 / (5/4) = 4 * 4/5 = 16/5 #
Lassen Sie uns nun feststellen, ob es absolut konvergiert.
# a_n = 4 (-1/4) ^ n #
Entfernen Sie den alternierenden negativen Begriff:
# a_n = 4 (-1) ^ n (1/4) ^ n #
Nehmen Sie den absoluten Wert, wodurch der alternierende negative Ausdruck verschwindet:
# | a_n | = 4 (1/4) ^ n #
Somit, #sum_ (n = 0) ^ oo | a_n | = sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n #
Wir sehen # | r | = 1/4 <1 #, so haben wir noch Konvergenz:
#sum_ (n = 0) ^ oo4 (1/4) ^ n = 4 / (1-1 / 4) = 4 / (3/4) = 4 * 4/3 = 16/3 #
Die Serie konvergiert absolut mit
#sum_ (n = 0) ^ ooa_n = 16/5, Summe_ (n = 0) ^ oo | a_n | = 16/3 #
