Die Zählung in einer Bakterienkultur betrug nach 20 Minuten 700 und nach 40 Minuten 1000. Was war die ursprüngliche Größe der Kultur?

Antworten:

490 Mikroorganismen.

Erläuterung:

Ich gehe davon aus, dass Bakterien ein exponentielles Wachstum haben. Das bedeutet, dass wir das Wachstum mit einer Exponentialfunktion modellieren können:

#f (t) = A_0e ^ (kt) #

woher # k # ist das Wachstum konstant und # A_0 # ist die Anfangsmenge an Bakterien.

Fügen Sie die zwei bekannten Werte in die Funktion ein, um zwei Gleichungen zu erhalten:

# 700 = A_0e ^ (20k) # (1)

# 1000 = A_0e ^ 40k # (2)

Teilen Sie (2) durch (1), um zu finden # k #:

# 1000/700 = (Abbruch (A_0) e ^ (40k)) / (Abbruch (A_0) e ^ (20k)) #

# 10/7 = e ^ (40k-20k) = e ^ (20k) #

Nehmen Sie das natürliche Protokoll von beiden Seiten zum Isolieren # k #:

#ln (10/7) = abbrechen (ln) abbrechen (e) ^ (20k) #

#ln (10/7) = 20k #

# k = ln (10/7) / 20 #

Nun, da wir das Wachstum konstant haben, # k #können wir einen der Punkte ersetzen, um den ursprünglichen Betrag zu lösen, # A_0 #:

#(40,1000)#

# 1000 = A_0e ^ (ln (10/7) / 20 * 40) #

# A_0 = 1000 / e ^ (0,0178 · 40) = 490 #

Antworten:

Die anfängliche Kulturgröße betrug #490#

Erläuterung:

Das Wachstum kann als geometrische Entwicklung mit derselben Wachstumsrate nach jedem Intervall von betrachtet werden #20# Protokoll.

Die Wachstumsrate kann durch bestimmt werden #1000/700 =10/7#

In Bezug auf die Größe der ursprünglichen Bevölkerung # (x) #

Das heisst:

#x xx 10/7 rarr 700 xx 10/7 rarr 1000 #

# 0 "Minuten" (weiß) (xxx) 20 Minuten (Weiß) (xxx) 40 "Minuten" #

Wenn wir also den Prozess umkehren, teilen wir uns einfach auf #10/7#

#x larr 10/7 div 700 larr 10/7 div larr 1000 #

Erinnere dich daran #div 10/7 = xx 7/10 #

# 1000 xx 7/10 = 700 #

# 700 xx 7/10 = 490 #