Antworten:
Machen Sie viel Algebra, nachdem Sie die Grenzwertdefinition angewendet haben, um die Steigung bei zu ermitteln # x = 3 # ist #13#.
Erläuterung:
Die Limitdefinition des Derivats lautet:
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (f (x + h) -f (x)) / h #
Wenn wir diese Grenze für # 3x ^ 2-5x + 2 #erhalten wir einen Ausdruck für die Derivat dieser Funktion. Die Ableitung ist einfach die Steigung der Tangente an einem Punkt; so die Ableitung an bewerten # x = 3 # gibt uns die Steigung der Tangente an # x = 3 #.
Nachdem dies gesagt ist, lass uns anfangen:
#f '(x) = lim_ (h -> 0) (3 (x + h) ^ 2-5 (x + h) + 2- (3x ^ 2-5x + 2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h -> 0) (3 (x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) -5x-5h + 2-3x ^ 2 + 5x-2) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (Abbruch (3x ^ 2) + 6hx + 3h ^ 2-Abbruch (5x) -5h + Abbruch (2) -Stoß (3x ^ 2) + Abbruch (5x)) -abbruch (2)) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (6hx + 3h ^ 2-5h) / h #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) (Abbruch (h) (6x + 3h-5)) / Abbruch (h) #
#f '(x) = lim_ (h-> 0) 6x + 3h-5 #
Bewerten Sie dieses Limit bei # h = 0 #, #f '(x) = 6x + 3 (0) -5 = 6x-5 #
Nun, da wir die Ableitung haben, müssen wir nur noch einstecken # x = 3 # um die Steigung der Tangente dort zu finden:
#f '(3) = 6 (3) -5 = 18-5 = 13 #
Antworten:
Siehe den Erklärungsabschnitt unten, wenn Ihr Lehrer / Lehrbuch verwendet wird #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) #
Erläuterung:
Einige Darstellungen des Kalküls werden für die Definition der Steigung der Linie verwendet, die den Graphen tangiert #f (x) # an dem Punkt wo # x = a # ist #lim_ (xrarra) (f (x) -f (a)) / (x-a) # sofern das Limit existiert.
(Zum Beispiel James Stewarts 8. Ausgabe Infinitesimalrechnung S. 106. Auf Seite 107 gibt er das Äquivalent an #lim_ (hrarr0) (f (a + h) -f (a)) / h #.)
Mit dieser Definition ist die Steigung der Tangente zum Graph von #f (x) = 3x ^ 2-5x + 2 # an dem Punkt wo # x = 3 # ist
#lim_ (xrarr3) (f (x) - f (3)) / (x-3) = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2 - 3 (3) ^ 2-5 (3)) +2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x + 2-27 + 15-2) / (x-3) #
# = lim_ (xrarr3) (3x ^ 2-5x-12) / (x-3) #
Beachten Sie, dass dieses Limit eine unbestimmte Form hat #0/0# da #3# ist eine Nullstelle des Polynoms im Zähler.
Schon seit #3# ist eine Null, das wissen wir # x-3 # ist ein Faktor. So können wir Faktoren einkalkulieren, reduzieren und erneut versuchen zu bewerten.
# = lim_ (xrarr3) (abbrechen ((x-3)) (3x + 4)) / abbrechen ((x-3)) #
# = lim_ (xrarr3) (3x + 4) = 3 (3) +4 = 13 #.
Die Grenze ist #13#, also die Steigung der Tangente an # x = 3 # ist #13#.
