Beweisen Sie, dass die Funktion nicht in x_0 = 0 lim ist? + Beispiel

Antworten:

Siehe Erklärung.

Erläuterung:

Gemäß Heines Definition eines Funktionslimits haben wir:

#lim_ {x-> x_0} f (x) = g iff #

#AA {x_n} (lim_ {n -> + oo} x_n = x_0 => lim_ {n -> + oo} f (x_n) = g) #

Also zu zeigen, dass eine Funktion hat NEIN beschränken auf # x_0 # Wir müssen zwei Sequenzen finden # {x_n} # und # {bar (x) _n} # so dass

#lim_ {n -> + oo} x_n = lim_ {n -> + oo} Takt (x) _n = x_0 #

und

#lim_ {n -> + oo} f (x_n)! = lim_ {n -> + oo} f (Takt (x) _n) #

Im gegebenen Beispiel können solche Sequenzen sein:

# x_n = 1 / (2 ^ n) # und #bar (x) _n = 1 / (3 ^ n) #

Beide Sequenzen konvergieren zu # x_0 = 0 #, aber gemäß der Formel der Funktion haben wir:

#lim _ {n -> + oo} f (x_n) = 2 # (*)

weil alle Elemente in # x_n # sind in #1,1/2,1/4,…#

und für #bar (x) _n # wir haben:

#f (Takt (x) _1) = f (1) = 2 #

aber für alle #n> = 2 # wir haben: #f (Takt (x) _n) = 1 #

So für #n -> + oo # wir haben:

#lim_ {n -> + oo} f (Takt (x) _n) = 1 # (**)

Beide Sequenzen decken sich ab # x_0 = 0 #, aber die Grenzen (*) und (**) sind NICHT gleich, also das Limit #lim_ {x-> 0} f (x) # ist nicht vorhanden.

QED

Die Definition des Limits ist in Wikipedia unter http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_of_a_function zu finden

Antworten:

Hier ist ein Beweis, der die Negation der Definition des Vorliegens einer Grenze verwendet.

Erläuterung:

Kurze Version

#f (x) # kann sich keiner einzelnen Nummer nähern # L # weil in jeder Nachbarschaft von #0#, die Funktion # f # nimmt Werte an, die sich voneinander unterscheiden #1#.

Also egal, was jemand vorschlägt # L #gibt es punkte # x # nahe #0#, woher #f (x) # ist mindestens #1/2# Einheit weg von # L #

Lange Version

#lim_ (xrarr0) f (x) # wenn und nur wenn

Es gibt eine Nummer, # L # so für alle #epsilon> 0 #, da ist ein #delta> 0 # so dass für alle # x #, # 0 <abs (x) <Delta # impliziert #abs (f (x) -L) <epsilon #

Die Negation davon ist:

#lim_ (xrarr0) f (x) # Wenn und nur dann, wenn nicht

für jede Nummer # L # Da ist ein #epsilon> 0 #so für alle #delta> 0 # Da ist ein # x #, so dass # 0 <abs (x) <Delta # und #abs (f (x) -L)> = epsilon #

Eine Nummer gegeben # L #Werde ich lassen #epsilon = 1/2 # (beliebiger #Epsilon# wird auch funktionieren)

Jetzt positiv #Delta#Ich muss zeigen, dass es eine gibt # x # mit # 0 <Absx <Delta # und #abs (f (x) -L)> = 1/2 # (erinnere dich daran #epsilon = 1/2 #)

Positiv gegeben #Delta# schließlich # 1/2 ^ n <Delta # also gibt es eine # x_1 # mit #f (x_1) = 2 #.

Es gibt auch ein Element # x_2 in RR- {1, 1/2, 1/4,… } # mit # 0 <x_2 <Delta # und #f (x_2) = 1 #

Ob #L <= (1/2) #, dann #abs (f (x_1) -L)> = 1/2 #

Ob #L> = (1/2) #, dann #abs (f (x_2) -L)> = 1/2 #