Antworten:
12.800cm3s
Erläuterung:
Dies ist ein klassisches Related Rates-Problem. Die Idee hinter Related Rates ist, dass Sie ein geometrisches Modell haben, das sich nicht ändert, auch wenn sich die Zahlen ändern.
Zum Beispiel bleibt diese Form eine Kugel, selbst wenn sie ihre Größe ändert. Die Beziehung zwischen dem Volumen eines Wo und dem Radius ist
Solange das geometrische Beziehung ändert sich mit wachsender Sphäre nicht, dann können wir diese Beziehung implizit ableiten und eine neue Beziehung zwischen den Änderungsraten finden.
Implizite Differenzierung ist, wo wir jede Variable in der Formel ableiten, und in diesem Fall leiten wir die Formel in Bezug auf die Zeit ab.
Also nehmen wir die Ableitung unserer Sphäre:
Wir wurden tatsächlich gegeben
Wir interessieren uns für den Moment, wenn die Durchmesser ist 80 cm, was ist, wenn Radius wird 40 cm sein.
Die Steigerungsrate der Lautstärke beträgt
Und die Einheiten funktionieren sogar richtig, da wir ein Volumen erhalten sollten, das durch die Zeit geteilt wird.
Hoffe das hilft.
Mit einer Kurbelwelle bohrt ein Zimmermann ein Loch mit einem Radius von 1 cm durch einen Holzball mit einem Durchmesser. Wenn der Radius der Kugel 4 cm beträgt, wie groß ist dann das Holzvolumen?
Siehe die Antwort unten:
Die Höhe eines Dreiecks nimmt mit einer Geschwindigkeit von 1,5 cm / min zu, während die Fläche des Dreiecks mit einer Geschwindigkeit von 5 cm² / min zunimmt. Mit welcher Geschwindigkeit ändert sich die Basis des Dreiecks, wenn die Höhe 9 cm und die Fläche 81 cm 2 beträgt?
Hierbei handelt es sich um ein Problem, das mit der Rate der Änderungen (der Änderung) zusammenhängt. Die Variablen von Interesse sind a = Höhe A = Fläche, und da die Fläche eines Dreiecks A = 1 / 2ba ist, benötigen wir b = Basis. Die angegebenen Änderungsraten sind in Einheiten pro Minute angegeben, die (unsichtbare) unabhängige Variable ist also t = Zeit in Minuten. Wir sind gegeben: (da) / dt = 3/2 cm / min (dA) / dt = 5 cm ^ 2 / min Und wir werden gebeten, (db) / dt zu finden, wenn a = 9 cm und A = 81 cm ^ 2 A = 1 / 2ba, differenzierend zu t erhalten wir: d / dt (A) = d / dt
Wasser tritt mit einer Geschwindigkeit von 10.000 cm3 / min aus einem umgekehrten konischen Tank aus, während Wasser mit einer konstanten Rate in den Tank gepumpt wird, wenn der Tank eine Höhe von 6 m hat und der Durchmesser an der Spitze 4 m beträgt Wenn der Wasserstand bei einer Höhe von 2 m um 20 cm / min ansteigt, wie finden Sie die Geschwindigkeit, mit der das Wasser in den Tank gepumpt wird?
Sei V das Volumen des Wassers in dem Tank in cm 3; h sei die Tiefe / Höhe des Wassers in cm; und sei r der Radius der Wasseroberfläche (oben) in cm. Da der Tank ein umgekehrter Kegel ist, ist dies auch die Wassermasse. Da der Tank eine Höhe von 6 m und einen Radius am oberen Rand von 2 m hat, implizieren ähnliche Dreiecke, dass frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 ist, so dass h = 3r ist. Das Volumen des umgekehrten Wasserkegels ist dann V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Unterscheiden Sie nun beide Seiten bezüglich der Zeit t (in Minuten), um frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} z