Wenn ich Langrage-Multiplikatoren für Kalkül 3 mache ... sagen wir, ich habe bereits meine kritischen Punkte gefunden und einen Wert davon erhalten. Woher weiß ich, ob es sich um einen min oder max Wert handelt?

Antworten:

Ein möglicher Weg ist der Hessische (2. Ableitungstest)

Erläuterung:

Um zu überprüfen, ob die kritischen Punkte Min oder Max sind, werden Sie in der Regel den zweiten Ableitungstest verwenden, bei dem Sie 4 partielle Ableitungen finden müssen #f (x, y) #:

#f _ {"xx"} (x, y) #, #f _ {"xy"} (x, y) #, #f _ {"yx"} (x, y) #, und #f _ {"yy"} (x, y) #

Beachten Sie, wenn beide #f _ {"xy"} # und #f _ {"yx"} # in einer Region von Interesse kontinuierlich sind, werden sie gleich sein.

Sobald Sie diese 4 definiert haben, können Sie eine spezielle Matrix, die als Hessian bezeichnet wird, verwenden, um die Determinante dieser Matrix zu finden (die verwirrend oft auch als Hessian bezeichnet wird), über die Sie Informationen erhalten die Art des Punktes. Definieren Sie die Hessische Matrix also als:

#H = | (f_ {"xx"} farbe (weiß) (, aa) f_ {xy}), (f_ {yx} farbe (weiß) (, aa) f_ {yy}) | #

Sobald Sie diese Matrix eingerichtet haben (und es wird eine "Funktions" -Matrix sein, da der Inhalt Funktionen von x und y ist), können Sie einen Ihrer kritischen Punkte nehmen und die gesamte Matrixdeterminante auswerten. Nämlich:

#det (H) = (f_ {"xx"} (x_0, y_0) * f_ {"yy"} (x_0, y_0)) - (f_ {"xy"} (x_0, y_0)) ^ 2 #

Abhängig von den Ergebnissen dieser Berechnung können Sie die Art des kritischen Punkts erfahren:

Ob #H> 0 #An diesem Punkt gibt es ein min / max. Überprüfen Sie das Zeichen von #f _ {"xx"} #. Wenn es positiv ist, ist der Punkt ein min. Wenn es negativ ist, ist der Punkt max. (Dies ist analog zum "traditionellen" 2. Ableitungstest für Einzelvariablenfunktionen von x.)

Ob #H <0 #An diesem Punkt gibt es einen Sattelpunkt.

Ob #H = 0 #Der Test ist nicht schlüssig und Sie müssen sich auf andere Mittel verlassen, z. B. eine grafische Darstellung der Funktion, um visuell zu bestimmen.