Antworten:
Die Tangente verläuft parallel zur # x # Achse, wenn die Steigung (daher # dy / dx #) ist Null und ist parallel zu # y # Achse, wenn die Steigung (wieder # dy / dx #) geht zu # oo # oder # -oo #
Erläuterung:
Wir beginnen mit dem Finden # dy / dx #:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
# d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) #
# 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 #
# dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) #
Jetzt, # dy / dx = 0 # wenn der Nuimerator ist #0#, sofern dies nicht auch den Nenner macht #0#.
# 2x + y = 0 # wann #y = -2x #
Wir haben jetzt zwei Gleichungen:
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
#y = -2x #
Lösen (durch Vertretung)
# x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 #
# x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 #
# 3x ^ 2 = 7 #
#x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 #
Verwenden #y = -2x #, wir bekommen
Die Tangente an der Kurve ist an zwei Punkten horizontal:
# (sqrt21 / 3, - (2sqrt21) / 3) # und # (- sqrt21 / 3, (2sqrt21) / 3) #
(Beachten Sie, dass diese Paare nicht auch den Nenner von machen # dy / dx # gleich #0#)
Um die Punkte zu finden, an denen die Tangente vertikal ist, machen Sie den Nenner von # dy / dx # gleich tpo #0# (ohne auch den Zähler zu machen #0#).
Wir könnten die Lösung durchgehen, aber die Symmetrie der Gleichung, die wir erhalten werden:
# x = -2y #, so
#y = + - sqrt21 / 3 #
und die Punkte auf der Kurve, an denen die Tangente vertikal ist, sind:
# (- (2sqrt21) / 3, sqrt21 / 3) # und # ((2sqrt21) / 3, -sqrt21 / 3) #
Apropos. Da wir die Technologie haben, ist hier der Graph dieser gedrehten Ellipse: (Beachten Sie das.) # + - sqrt21 / 3 ~~ + - 1.528 # was Sie in der Grafik sehen können.)
Graph {x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 -11,3, 11,2, -5,665, 5,585}
Antworten:
Ich verwende nur Mathematik der Mittelschule
Tangenten parallel zur x-Achse bei:
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) und (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Tangenten parallel zur y-Achse bei:
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) und (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Erläuterung:
Ich warf einen Blick auf Jims Antwort, die wie eine schöne, normale Kalkülbehandlung aussieht. Aber ich kann nicht anders als traurig sein für all die Mittelschüler dort draußen im sokratischen Land, die Tangenten von algebraischen Kurven finden wollen, aber noch Jahre von Kalkül entfernt sind.
Glücklicherweise können sie diese Probleme nur mit Algebra I lösen.
# x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 #
Für ein erstes Beispiel mag dies etwas kompliziert sein, aber machen wir uns daran. Wir schreiben unsere Kurve als #f (x, y) = 0 # woher
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2-7 #
Lass uns nehmen # (r, s) # als ein Punkt auf # f #. Wir wollen nachforschen # f # nahe # (r, s) # also schreiben wir
#f (x, y) = f (r + (x-r), s + (y-s)) #
# = (r + (x-r)) ^ 2 + (r + (x-r)) (s + (y-s)) + (s + (y-s)) ^ 2-7 #
Wir erweitern, aber wir erweitern nicht die Differenzbedingungen # x-r # und # y-s #. Wir möchten, dass diese intakt bleiben, damit wir später ein paar Versuche machen können.
#f (x, y) = r ^ 2 + 2r (xr) + (xr) ^ 2 + (rs + s (xr) + r (ys) + (xr) (ys)) + s ^ 2 + 2s (ys) + (ys) ^ 2-7 #
# = (r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7) + (2r + s) (xr) + (2s + r) (ys) + (xr) ^ 2 + (ys) ^ 2 + (xr) (ys) #
# = f (r, s) + (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Wir sagten # (r, s) # ist an # f # so #f (r, s) = 0 #.
#f (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (y-s) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Wir haben die Terme nach Grad sortiert und können mit Näherungen an experimentieren # f # nahe # (r, s) # durch Ablegen der höheren Grade. Die Idee ist wann # (x, y) # ist nah # (r, s) # dann # x-r # und # y-s # sind klein und ihre Quadrate und Produkte sind noch kleiner.
Lassen Sie uns nur einige Annäherungen an generieren # f #. Schon seit # (r, s) # Auf der Kurve ist die konstante Näherung, die alle Differenzterme verwirft, ist
# f_0 (x, y) = 0 #
Das ist nicht besonders aufregend, aber es zeigt uns richtig Punkte in der Nähe # (r, s) # gibt einen Wert nahe Null für # f #.
Lassen Sie uns interessanter werden und die linearen Terme beibehalten.
# f_1 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Wenn wir dies auf Null setzen, erhalten wir die beste lineare Näherung # f # nahe # (r, s), # Welches ist das Tangente zu # f # beim # (r, s). # Jetzt kommen wir irgendwo hin.
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Wir können auch andere Annäherungen berücksichtigen:
# f_2 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 #
# f_3 (x, y) = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) + (x-r) ^ 2 + (x-r) (y-s) #
Dies sind Tangenten höherer Ordnung, die College-Mathematikstudenten kaum erreichen. Wir sind schon über den College-Kalkül hinausgegangen.
Es gibt mehr Näherungen, aber ich bin gewarnt, dass dies lang wird. Nun, da wir gelernt haben, wie man mit Algebra I rechnet, machen wir das Problem.
Wir möchten die Punkte finden, an denen die Tangente parallel zu ist # x # Achse und # y # Achse.
Wir haben unsere Tangente gefunden # (r, s) # ist
# 0 = (2r + s) (x-r) + (2s + r) (y-s) #
Parallel zum # x # Achse bedeutet eine Gleichung #y = Text {konstant} #. Also der Koeffizient an # x # muss null sein
# 2r + s = 0 #
#s = -2r #
# (r, s) # ist auf der Kurve so #f (r, s) = 0 #:
# r ^ 2 + rs + s ^ 2 - 7 = 0 #
# r ^ 2 + r (-2r) + (-2r) ^ 2 - 7 = 0 #
#r = pm sqrt {7/3} #
Schon seit # s = -2r # die Punkte sind
# (- sqrt {7/3}, 2sqrt {7/3}) und (sqrt {7/3}, -2sqrt {7/3}) #
Ähnlich parallel zur y-Achse bedeutet # 2s + r = 0 # das sollte aufgrund der Symmetrie des Problems nur x und y vertauschen. Die anderen Punkte sind also
# (- 2sqrt {7/3}, sqrt {7/3}) und (2sqrt {7/3}, -sqrt {7/3}) #
Prüfen.
Wie zu überprüfen? Lassen Sie uns eine Alpha-Zeichnung machen.
Plot x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, x = -sqrt {7/3}, y = 2 sqrt {7/3}, x = 2sqrt {7/3}, y = -sqrt {7/3 }
Sieht gut aus. Kalkül auf algebraischen Kurven. Ziemlich gut für die Mittelschule.
